thesis

Convergence uniforme au rayon spectral et propriétés connexes dans des algèbres de Banach (1996)

Superviseur P. G. Dixon

La portée de ce rapport est la théorie de structure des algèbres de Banach général. Notre point de départ est la formule de rayon spectral : L'affirmation de Gelfand de l'égalité du rayon spectral d'un élément $a$ d'une algèbre de Banach avec la limite $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \left\| a^n \right\|^{1/n}. $$ Nous considérons les algèbres de Banach pour lesquelles cette convergence remplit quelques conditions d'uniformité, se concentrant sur deux conditions : quand cette convergence est uniforme sur la boule d'unité (uniformité spectrale) et quand cette uniformité se tient simplement sur les éléments topologiquement nilpotente de la boule d'unité (index topologiquement lié). Ce dernier est un analogue topologique naturel d'une propriété d'intérêt pour la théorie d'anneaux.

Nous considérons des questions de stabilité et suivons avec une recherche détaillée sur chacune de ces propriétés. Nous trouvons un certain nombre de conséquences simples d'uniformité spectrale et prouvons que, notamment, les algèbres des matrices et $\ell_1$ sont spectralement uniforme. Nous constatons que les algèbres spectralement uniformes de von Neumann sont exactement ceux qui satisfont quelques propriétés bien connues de caractère fini, en particulier, injectivité au sens de Varopoulos.

Pour l'index topologiquement lié nous prouvons une version topologique d'un théorème de Jacobson et employons ceci pour étudier des algèbres des semigroupes et des algèbres des opérateurs sur un espace de Banach. Une algèbre de Hadwin et autres est étudiée de manière assez détaillée.

Dans le chapitre final nous étudions des rapports plus généraux entre les propriétés coïncidant avec l'uniformité spectrale et l'index topologiquement lié en algèbres de von Neumann. Nous étudions l'injectivité des algèbres des semigroupes, construisons une algèbre de Banach injectif qui ne satisfait pas une identité polynôme et faisons quelques remarques sur une question de Le Merdy. Nous concluons en traitant quelques algèbres de Banach qui peuvent être vues en tant que $Q$-algèbres généralisées.

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